已知函數f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關系式并求f（x）的單調減區間；
（2）證明：對任意實數0＜x₁＜x₂＜1，關于x的方程：在（x₁，x₂）恒有實數解
（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f（x）是在閉區間[a，b]上連續不斷的函數，且在區間（a，b）內導數都存在，則在（a，b）內至少存在一點x₀，使得．如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，（可不用證明函數的連續性和可導性）．

已知函數f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關系式并求f(x)的單調減區間；

（2）證明：對任意實數0<x₁<x₂<1, 關于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實數解

（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f(x)是在閉區間[a,b]上連續不斷的函數，且在區間(a,b)內導數都存在，則在(a,b)內至少存在一點x₀，使得.如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當0<a<b時，（可不用證明函數的連續性和可導性）

（本小題滿分12分）

已知函數；

（1）求;         （2）求的最大值與最小值.

【解析】第一問利用導數的運算法則，冪函數的導數公式，可得。

第二問中，利用第一問的導數，令導數為零，得到

然后結合導數，函數的關系判定函數的單調性，求解最值即可。