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10．如圖.已知梯形ABCD中.點E分有向線段所成的比為.雙曲線過C.D.E三點.且以A.B為焦點．當時.求雙曲線離心率的取值范圍．解:如圖.以AB的垂直平分線為y軸.直線AB為x軸.建立直角坐標系xoy.則CD⊥y軸．因為雙曲線經過點C.D.且以A.B為焦點.由雙曲線的對稱性知C.D關于x軸對稱．依題意.記A(-c.0).C(.h).E(x0, y0).其中c=|AB|為雙曲線的半焦距.h是梯形的高．由定比分點坐標公式得 x0== . ．設雙曲線的方程為.則離心率．由點C.E在雙曲線上.將點C.E的坐標和代入雙曲線方程得 . ① ． ② 由①式得 . ③ 將③式代入②式.整理得 . 故由題設得.．解得．所以雙曲線的離心率的取值范圍為． [探索題]如圖.在雙曲線的上支有三點.它們與點F(0.5)的距離成等差數列. (1) 求 (2) 證明:線段AC的垂直平分線經過某一定點.并求此點坐標解:(1)故F雙曲線的焦點.設準線為.離心率為. 由題設有 ① 分別過A.B.C作x軸的垂線.則由雙曲線的第二定義有. 代入①式.得. 于是兩邊均加上準線與x軸距離的2倍.有 AC的中垂線方程為 (2)由于A.C在雙曲線上.所以有相減得故(2)式化為.易知此直線過定點. 思維點撥:利用第二定義得焦半徑.可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點.中點問題往往把A.C的坐標代入方程.兩式相減.變形.即可解決問題. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當時，求雙曲線離心率的取值范圍．