Question

如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點．當時，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

解：如圖，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xoy，則CD⊥y軸．

因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于x軸對稱．                                                               

依題意，記A（－c，0），C（，h），E（x₀, y₀），

其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．

由定比分點坐標公式得

x₀== ，．

設雙曲線的方程為，則離心率.

由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得

，                      ①

．     ②                   

由①式得    ，                    ③

將③式代入②式，整理得

，

故    ．                                  

由題設得，．解得．

所以雙曲線的離心率的取值范圍為．