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(本小題滿分12分)

已知函數f(x)＝mx－,g(x)＝2lnx.

       (Ⅰ)當m＝2時，求曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

       (Ⅱ)當m＝1時，證明方程f(x)＝g(x)有且僅有一個實數根；

       (Ⅲ)若xÎ(1,e]時，不等式f(x)－g(x)＜2恒成立，求實數m的取值范圍.

（15分） 如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分別為⊙O、⊙O₁的直徑，且A₁A⊥平面PAB.

(1)求證：BP⊥A₁P；

(2)若圓柱OO₁的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱錐A₁－APB的體積．

(3)在AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為 ？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.

(1)寫出a₂,a₃的值，并求出a_n；

(2)是否存在最大的正數M，使≥M對一切正整數n都成立？若存在，試探求出M的值并加以證明；若不存在，請說明理由.

本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點M、N分別為BC、PA的中點，且PA＝AD＝2，AB＝1，AC＝．

（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）在線段PD上是否存在一點E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長；若不存在，說明理由．

設M是滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“①方程f(x)－x＝0有實數根；②函數f(x)的導數f′(x)滿足0<f′(x)<1.”

(1)若函數f(x)為集合M中的任一元素，試證明方程f(x)－x＝0只有一個實根；

(2)判斷函數g(x)＝－＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(3)“對于(2)中函數g(x)定義域內的任一區間[m，n]，都存在x₀∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x₀)”，請利用函數y＝lnx的圖像說明這一結論．