Question

數列{a_n}的前n項和是S_n,數列{na_n}的前n項和是T_n，且a₁=1,S_n+T_n=na_n+1.

(1)寫出a₂,a₃的值，并求出a_n；

(2)是否存在最大的正數M，使≥M對一切正整數n都成立？若存在，試探求出M的值并加以證明；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)令n=1,得S₁+T₁=1·a₂,得a₂=2;令n=2,得S₂+T₂=2·a₃,得a₃=4.

依題意有S_n+T_n=na_n+1,S_n-1+T_n-1=(n-1)a_n(n≥2),

兩式相減可得a_n+na_n=na_n+1-(n-1)a_n,即a_n+1=2a_n(n≥2),

又a₂=2a₁,所以數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1.

(2)存在M_max=.

證明：由a_n=2^n-1,得S_n=2ⁿ-1,

∴要證

只需證9［2²ⁿ⁺²-(2ⁿ+2ⁿ⁺²)+1］≥7(2²ⁿ⁺²-2·2ⁿ⁺¹+1),

只要證2²ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³-9·2ⁿ+2≥0,即證(2ⁿ⁺³-9)(2ⁿ-1)≥7.(*)

∵對一切正整數n，2ⁿ⁺³-9≥7,2ⁿ-1≥1,

∴(*)式成立，且等號當且僅當n=1時成立.

∴M_max=.

或可證出f(n)=單調遞增，f(n)≥f(1)=.