Question

設M是滿足下列條件的函數f(x)構成的集合：“①方程f(x)－x＝0有實數根；②函數f(x)的導數f′(x)滿足0<f′(x)<1.”

(1)若函數f(x)為集合M中的任一元素，試證明方程f(x)－x＝0只有一個實根；

(2)判斷函數g(x)＝－＋3(x>1)是否是集合M中的元素，并說明理由；

(3)“對于(2)中函數g(x)定義域內的任一區間[m，n]，都存在x₀∈[m，n]，使得g(n)－g(m)＝(n－m)g′(x₀)”，請利用函數y＝lnx的圖像說明這一結論．

Answer 1

解析　(1)令h(x)＝f(x)－x，則h′(x)＝f′(x)－1<0，

即h(x)在區間(1，＋∞)上單調遞減．

所以，使h(x)＝0，即f(x)－x＝0成立的x至多有一解．

又由題設①知方程f(x)－x＝0有實數根，

所以，方程f(x)－x＝0只有一個實數根．

(2)由題意知，g′(x)＝－∈⊂(0,1)，滿足條件．

令F(x)＝g(x)－x＝－－＋3(x>1)，

則F(e)＝－＋>0，F(e²)＝－＋2<0.

又F(x)在區間[e，e²]上連續，所以F(x)在[e，e²]上存在零點x₀，即方程g(x)－x＝0有實數根x₀∈[e，e²]，故g(x)滿足條件①.

綜上可知，g(x)∈M.

(3)由(1)知：g(n)－g(m)＝(n－m)－(lnn－lnm)，

而(n－m)g′(x₀)＝(n－m)(－)，

所以原式等價于＝.

該等式說明函數y＝lnx(x>1)上任意兩點A(m，lnm)和B(n，lnn)的連線段AB(如圖所示)，在曲線y＝lnx(m≤x≤n)上都一定存在一點P(x₀，lnx₀)，使得該點處的切線平行于AB，根據y＝lnx(x>1)圖像知該等式一定成立．