題目列表(包括答案和解析)
設(shè)x是一個自然數(shù)．若一串自然數(shù)x0＝1，x1，x2，…，xt－1，xt＝x，滿足xi－1＜xi，xi－1|xi，i＝1，2，…，t．則稱{x0，x1，x2，…xt}為x的一條因子鏈，t為該因子鏈的長度．T(x)與R(x)分別表示x的最長因子鏈的長度和最長因子鏈的條數(shù)．對于x＝5k×31m×1990n(k，m，n是自然數(shù))試求T(x)與R(x)．
已知公比為q(0＜q＜1)的無窮等比數(shù)列{an}各項的和為9，無窮等比數(shù)列{a
}各項的和為
．
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的首項a1和公比q；
(Ⅱ)對給定的k(k＝1，2，3，…，n)，設(shè)T(k)是首項為ak，公差為2ak－1的等差數(shù)列，求T(2)的前10項之和；
(Ⅲ)設(shè)bi為數(shù)列T(k)的第i項，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn，并求正整數(shù)m(m＞1)，使得
存在且不等于零．(注：無窮等比數(shù)列各項的和即當(dāng)n→∞時該無窮等比數(shù)列前n項和的極限)
設(shè)n、k為互素自然數(shù)，0＜k＜n，在集合M＝{1，2，…，n－1｝(n≥3)中的各數(shù)，要么著藍(lán)色，要么著白色，已知
(1)對于各i∈M，i和n－i同色；
(2)對于各i∈M，i≠k， i和|i－k|同色．
證明：在M中的所有數(shù)均同色．
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