Question

設n、k為互素自然數，0＜k＜n，在集合M＝{1，2，…，n－1｝(n≥3)中的各數，要么著藍色，要么著白色，已知

(1)對于各i∈M，i和n－i同色；

(2)對于各i∈M，i≠k， i和|i－k|同色．

證明：在M中的所有數均同色．

Answer 1

證明：設lk＝nq_l＋r_l(l＝1，2，…，n－1；1≤r_l≤n－1)．若r_l＝r_l＇，則(l－l＇)k被n整除，但n、k互素，所以n|(l－l＇)這表明在l＝1，2…，n－1時，r₁，r₂，…，r_n－1互不相同，所以M＝｛r₁，r₂，…，r_n－1｝．

若r_l＜n－k，即r_l＋k＜n，則r_l＋1＝r_l＋k，由條件(2)，r_l＋1與r_l＋1－k＝r_l同色．

若r_l≥n－k，即r_l＋k≥n，則r_l＋1＝r_l＋k－n，于是r_l＋1與k－r_l＋1＝n－r_l同色．再由條件(1)n－r_l與r_l同色．

綜上所述，r_i＋1與r_l同色(l＝1，2，…，n－2)，因此M中所有數同色．