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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

長度為a（a＞0）的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，點P在線段AB上，且

AP

=λ

PB

（λ為常數且λ＞0）．
（I）求點P的軌跡方程C，并說明軌跡類型；
（II）當λ=2時，已知直線l₁與原點O的距離為

a

2

，且直線l₁與軌跡C有公共點，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

求半徑為R的圓的內接矩形周長的最大值．

求曲線y=

1

x2

在橫坐標為x₀的點處的切線方程，并求此曲線的切線被兩坐標軸所截線段的最短長度．

長沙市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．
（1）請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．