Question

長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁=a，底面ABCD的邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點(diǎn)；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳A₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點(diǎn)；所以DE⊥CE，結(jié)合線段的長(zhǎng)度關(guān)系可得DE⊥EB，進(jìn)而證明線面垂直．
（2）取DC的中點(diǎn)F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，然后把二面角放入三角形中利用解三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點(diǎn)；
∴DE=CE=

2

a，?DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因?yàn)镃E∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中點(diǎn)F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，
則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由題意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與幾何體的線段長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而解決線面平行與垂直問(wèn)題，以及空間角與空間距離等問(wèn)題．