已知，如圖，∠ABC=∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1=∠3．求證：AB∥DC．
請根據條件進行推理，得出結論，并在括號內注明理由．
證明：∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ADC．（

角平分線定義

角平分線定義

）
∵∠ABC=∠ADC，
∵∠

1

1

=∠

2

2

．
∵∠1=∠3，
∴∠2=

3

3

．（等量代換）
∴

AB

AB

∥

CD

CD

．（

內錯角相等，兩直線平行

內錯角相等，兩直線平行

）

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P為半徑為R的⊙O內一點，Q為射線OP上一點，如果滿足OP•OQ=R²，則稱P、Q兩點為⊙O互為反演點．已知：E、B兩點及A、F兩點分別為⊙O的互為反演點．
（1）求證：△OEF∽△OAB；
（2）△OAB中，∠O、∠A、∠B所對的邊分別為c、a、b關于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有兩個相等的實數根，延長FE與⊙O相交于D點，求證：BD是⊙O的切線．

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21、如圖，A，D是公園中人工湖邊的兩棵樹，AB，BC，CD是公園內的甬路．小明同學想測出A，D兩點間的距離．于是他進行了如下測量：B點在A點北偏東α方向，C點在B點北偏東β方向，C點在D點正東方向．你認為他還需要測出AB，BC，CD中哪些線段的長？并根據小明的測量和你的判斷推導出AD的表達式．

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（2012•浙江一模）如圖1，在平面上，給定了半徑為r的⊙O，對于任意點P，在射線OP上取一點P′，使得OP•OP′=r²，這種把點P變為點P′的變換叫做反演變換，點P與點P′叫做互為反演點，⊙O稱為基圓．
（1）如圖2，⊙O內有不同的兩點A、B，它們的反演點分別是A′、B′，則與∠A′一定相等的角是

（C）

（C）

（A）∠O         （B）∠OAB        （C）∠OBA           （D）∠B′
（2）如圖3，⊙O內有一點M，請用尺規作圖畫出點M的反演點M′；（保留畫圖痕跡，不必寫畫法）．
（3）如果一個圖形上各點經過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．已知基圓O的半徑為r，另一個半徑為r₁的⊙C，作射線OC交⊙C于點A、B，點A、B關于⊙O的反演點分別是A′、B′，點M為⊙C上另一點，關于⊙O的反演點為M′．求證：∠A′M′B′=90°．

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一. 填空題（每空4分，共48分）

  1. 請你寫出：（1）一個比-1大的負數：____________；（2）一個二次三項式：____________。

  2. 請你寫出：（1）經過點（0，2）的一條直線的解析式是________________________；（2）經過點（0，2）的一條拋物線的解析式是________________________。

  3. 如果菱形的面積不變，它的兩條對角線的長分別是x和y，那么y是x的____________函數。（填寫函數名稱）

  4. 如圖，△ADE和△ABC有公共頂點A，∠1＝∠2，請你添加一個條件：___________，使△ADE∽△ABC。

  5. 有一列數：1，2，3，4，5，6，……，當按順序從第2個數數到第6個數時，共數了_______個數；當按順序從第m個數數到第n個數（）時，共數了_______個數。

  6. 請你在“2，-3，4，-5，6”中任意挑選4個數，添加“＋，－，×，÷”和括號進行運算，使其計算結果為24，這個算式是_____________________。

  7. 已知三個數，請你再添上一個數，寫出一個比例式_________________。

  8. 觀察下列各式：；……請你將猜想到的規律用自然數表示出來：____________________________。

  9. 下面是按照一定規律畫出的一列“樹型圖”：

    經觀察可以發現：圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規律，圖（7）比圖（6）多出_______個“樹枝”。

二. 選擇題（每小題4分，共20分）

  10. 下面四個圖形每個均由六個相同的小正方形組成，折疊后能圍成正方體的是（    ）

  11. 某種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，經過兩小時，這種細胞由1個能分裂成（    ）

    A. 8個                                B. 16個                               C. 4個                                 D. 32個

  12. 1～54這54個自然數排列如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

……

49

50

51

52

53

54

    在這張數表中任意圈出一個豎列上相鄰的3個數，和不可能是（    ）

    A. 66                                  B. 39                                  C. 40                                  D. 57

  13. 一張長方形的餐桌四周可坐6人（如圖1），現有35人需圍成一圈，開個茶話會，如果按如圖2方式將桌子拼在一起，那么至少需要餐桌（    ）

    A. 14張                               B. 15張                                      C. 16張                               D. 32張

  14. 觀察下列兩組算式：

    （1），

    （2），……

    根據你發現的規律寫出的末位數字是（    ）

    A. 2                                    B. 4                                    C. 8                                    D. 6

三. 解答題（第15－21題，每題10分，第22題12分，共82分）

  15. 如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點F是CD的中點。

    （1）求證：AF⊥CD。

    （2）在你連結BE后，還能得出什么新的結論？請寫出三個（不要求證明）

  16. 如圖，有一塊半圓形的木板，現要把它截成三角形板塊。三角形的兩個頂點分別為A、B，另一頂點在上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？（要求畫出示意圖并說明理由）

  17. 已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，A是的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E。

    （1）求證：AB?DA＝CD?BE；

    （2）若點E在CB的延長線上運動，點A在上運動，使切線EA變為割線EFA，問具備什么條件時，原結論成立？（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）

  18. 某單位搞綠化，要在一塊圓形空地上種四種顏色的花。為了便于管理且美觀，相同顏色的花集中種植，且每種顏色的花所占的面積相同。現征集設計方案，要求設計的圖案成軸對稱圖形或中心對稱圖形。請在下面圓中畫出兩種設計方案。（只畫示意圖，不寫作法）

  19. 如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD。

    （1）P是上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD＝∠COB；

    （2）當點P’在劣弧上（不與C，D重合）時，∠CP’D與∠COB有什么數量關系？請證明你的結論。

  20. 已知鈍角△ABC（如圖）。你能否將△ABC分割成三個三角形，使其中之一是等腰三角形，另外的兩個三角形相似？若能，請畫出分割圖并證明；若不能，請說明理由。

  21. 如圖，△ABC內部有若干個點，用這些點以及△ABC的頂點A，B，C把原三角形分割成一些三角形（互相不重疊）。

    （1）填寫下表：

△ABC內點的個數

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的個數

3

5

……

    （2）原△ABC能否被分割成2004個三角形？若能，求此時△ABC內部有多少個點？若不能，請說明理由。

 22. 如圖，直徑為13的⊙O’經過原點O，并且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，線段OA，OB（OA＞OB）的長分別是方程的兩根。

    （1）求線段OA，OB的長；

    （2）已知點C在劣弧上，連結BC交OA于D，當時，求C點的坐標；

    （3）在（2）的條件下，問：⊙O’上是否存在點P，使？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

試題答案

一. 填空題。  1.   2.   3. 反比例  4. ∠D＝∠B  5. 5，

  6.   7.   8.   9. 80

二. 選擇題。  10. C                   11. B          12. C          13. C          14. D

三. 解答題。  15. 證：（1）連結AC、AD

    （2）AF⊥BE，AF平分BE，BE∥CD

  16. 解：作OC⊥AB交于點C，連結AC、BC

    此時的面積最大

    證明：在上任取一點C’（與C不重合），過C’作CH⊥AB于H

    連AC’、BC’，設BH＝x，則（圓半徑為R）

    當時，的最大值為，C’H最大為R

    ∴必有

  17. 證：（1）連結AC

    AE切⊙O于A

    A是的中點

    ABCD內接于⊙O

    （2）具備條件：（或BF＝DA，或∠BAF＝∠DCA，或FA∥BD等）

    就能使原結論成立

  18.

    AB⊥CD于O點

    AB⊥CD于O，分別以半徑為直徑畫半圓。

  19. 證：（1）

    （2）互補

    證：CP’DP是⊙O的內接四邊形

    已證：∠CPD＝∠COB

  20. 解：能，作∠CAE＝∠B，∠BAD＝∠C

    則△ABD∽△CAE

    ∴∠1＝∠2

    ∴△ADE為等腰三角形

  21. （1）

△ABC內點的個數

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的個數

3

5

7

9

……

2n+1

    （2）若△ABC能被分割成2004個三角形

    則

    不是整數

    ∴故原三角形不能被分割成2004個三角形

  22. 解：（1）連結AB

    ∵∠AOB為Rt∠

    ∴AB為直徑

    又OA、OB是方程的兩根

    又

    解<2>、<3>式得：

    （OA＞OB）

    （2）連結O’C交OA于E

    ∴O’C⊥OA

    ∴C點坐標（6，-4）

    （3）P不存在

    若假設存在

    則由C（6，-4），B（0，5）

    得BC直線的解析式為

    又∵⊙O’上到x軸距離的最大值為9

    ∴點P不在⊙O’上

    ∴不存在點P

    使