Question

P為半徑為R的⊙O內一點，Q為射線OP上一點，如果滿足OP•OQ=R²，則稱P、Q兩點為⊙O互為反演點．已知：E、B兩點及A、F兩點分別為⊙O的互為反演點．
（1）求證：△OEF∽△OAB；
（2）△OAB中，∠O、∠A、∠B所對的邊分別為c、a、b關于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有兩個相等的實數根，延長FE與⊙O相交于D點，求證：BD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出OE•OB=OA•OF，再利用相似三角形的判定，即可得出△OEF∽△OAB；
（2）利用△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，得出∠A的度數，再利用OE•OB=R²，得出△ODE∽△OBD，從而得出證明方法．

解答：解：（1）∵E、B兩點及A、F兩點分別為⊙O的互為反演點，
∴OE•OB=OA•OF，
∴

OE

OA

=

OF

OB

，
∵∠EOF=∠AOB，
∴△OEF∽△OAB；

（2）連接OD，
∵關于x的方程（a-b）x²-2cx+a+b=0有兩個相等的實數根，
∴△=（-2c）²-4（a-b）（a+b）=0，
即c²+b²=a²，
∴∠A=90°，
∵△OEF∽△OAB，
∴∠A=∠OEF=90°，
∵OE•OB=R²，
∴

R

EO

=

BO

R

，
∵∠DOE=∠BOD，
∴△ODE∽△OBD，
∴∠ODB=∠OED=90°，
∴BD是⊙O的切線．

點評：此題主要考查了根的判別式以及相似三角形的判定與性質、切線的判定等知識，根據已知得出OE•OB=R²從而得出相似三角形是解決問題的關鍵．