題目列表(包括答案和解析)
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
已知橢圓C:
的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為
的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =" k" x 交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得ΔPAB為等邊三角形,求k的值.
已知橢圓
,順次連結橢圓
的四個頂點,所得四邊形的內切圓與長軸的兩交點正好是長軸的兩個三等分點,則橢圓的離心率
等于( ).
A.
B.
C.
D.
第1卷
一、選擇題
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．C
7．B 8．A 9．D 10．C 11．A 12．A
第Ⅱ卷
二、填空題
13．
14．（理）
（文）3x+3y－2=0
15．（－3，0）
（3，+∞）
16．②④
三、解答題
17．（Ⅰ）這批食品不能出廠的概率是：
（Ⅱ）五項指標全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是：
五項指標全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是：
由互斥事件有一個發生的概率加法公式可知，五項指標全部檢驗完畢，
才能確定這批食品出廠與否的概率是：
18．（Ⅰ）設f（x）＝ax+b（a≠0），則c的方程為：
①
由點（2，
）在曲線c上，得1＝
（2一b）．
②
由①②解得a＝b＝1，∴曲線c的方程為y＝x－1．
（Ⅱ）由，點（n+1，
）底曲線c上，有＝n
于是
．
?…?
，
即
注意到a1＝1，所以an＝（n－1）!
（Ⅲ）
∴
．
19．（甲）（Ⅰ）選取DA1、DC、DD1，分別為Ox、Oy、Oy軸建立空間直角坐標，易知E（0，0，
），F（，，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），
，
＝0，
．
（Ⅱ）G（0，
，－1），Cl（0，1，1），
．
（Ⅲ）
，
（乙）
（Ⅰ）用反證法易證B1D1與A1D不垂直．
（Ⅱ）由余弦有cos∠AC1D1=
設AC1=x，則
上
單調遞增．
（Ⅲ）∵A1B1∥C1D1，∴∠AC1D1為異面直線AC1與A1B1所成角．
由余弦定理，有
設AC1＝x，則
故AC1與A1B1所成角的取值范圍是
20．（理）解：
（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關于直線x－1＝0對稱，
∴f（x）＝g（2－x）．
，
f（x）＝g（2一x）＝－ax+2x3．
又f（x）是偶函數，∴
f（x）=f（－x）＝ax一2x3．
（Ⅱ）f（x）＝a－6x2，∵f（x）為[0，1]上的增函數．
∴f'（x）＝a－6x2≥0，
∴a≥6x2在
上，恒成立．
∵x
[0，1）時，6x2≤6，∴a≥6．
即a的取值范圍是[6，+∞）．
（Ⅲ）當a在[0，1）上的情形．
由f'（x）=0，得
得a=6．此時x＝1
∴當a（－6，6）時，f（x）的最大值不可能是4．
（文）
（1）
（2）根據題意可得
，
整理得（ax－a）（ax+a－1）<0．
由于a>1，所以x<1．
即
．
21．解：
（Ⅰ）∵|PF1|一|PF2|=2a，又|PF1|＝3|PF2|．
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a．
設F1（－c，0），F2（c，0），P（x0，y0），由
得3a=ex0+a，則x0=
．
∵P在雙曲線右支上，∴x1≥a，即≥a，解得
1<e≤2．
∴e的最大值為2，此時
∴漸近線方程為
，
（Ⅱ）
．
又
．
∴
．
又
．
．
∴b2=C2－a2＝6．
∴雙曲線方程為
．
22．（理）解：
（1）可求得f（x）＝
．
由f（x）<f（1）得．
整理得（ax－a）（ax+a―1）<0．
由于a>l，所以x<1．
（Ⅱ）
＝
,
由
，
，
即f（2）>2f（1）．
即f（3）>3f（1）．
（Ⅲ）更一般地，有：f（n）>nf（1） （n
*，n≥2）．
用數學歸納法證明，
①由（Ⅱ）知n＝2，3時，不等式成立．
②假設n＝k時，不等式成立，即f（k）>kf（1）．
．
這說明n＝k+1時，不等式也成立．
由①②可知，對于一切
，均有f（x）>nf（1）．
（文）解：
（Ⅰ）∵f（x）與g（x）的圖像關于直線x－1＝0對稱．
∴f（x）＝g（2－x），當x[－1，0]時，2一x[2，3]
f（x）＝g（2一x）＝一ax+2x3．
又∵f（x）是偶函數，∴x[0，1]時，一x[一1，0]
f（x）＝f（一x）＝ax一2x3．
（Ⅱ）
上的增函數．
上恒成立
．
即a的取值范圍是[6，+∞]．
（Ⅲ）只考慮在[0，1）上的情形．
由
．
∴當
的最大值不可能是4．
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