Question

（2013•海淀區二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線y=kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l：x+y-3=0上存在點P，使得△PAB為等邊三角形，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由題意通過解直角三角形即可求得a，b值；
（II）設A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），當直線AB的斜率為0時，根據△PAB是等邊三角形容易求得k值；當直線AB的斜率存在且不為0時，設AB的方程為y=kx（k≠0），聯立

x2 3 +y2=1 y=kx

可表示出|x₁|，進而由弦長公式表示出|AO|，設AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，它與直線l：x+y-3=0的交點記為P（x₀，y₀），聯立

y=-x+3 y=- 1 k x

可表示出P點坐標，進而表示出|PO|，根據△PAB為等邊三角形可得|PO|=

3

|AO|，由此可解得k值，綜上兩種情況即得答案；

解答：解：（I）因為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為60°的菱形的四個頂點，
所以a=2cos30°=

3

，b=2sin30°=1，
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1；
（II）設A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
AB的垂直平分線就是y軸，y軸與直線l：x+y-3=0的交點為P（0，3），
又因為|AB|=2

3

，|PO|=3，所以∠PAO=60°，
所以△PAB是等邊三角形，所以直線AB的方程為y=0；
當直線AB的斜率存在且不為0時，設AB的方程為y=kx（k≠0），
由

x2 3 +y2=1 y=kx

，得（3k²+1）x²=3，
所以|x1|=

3 3k2+1

，則|AO|=

1+k2

3 3k2+1

=

3k2+3 3k2+1

，
設AB的垂直平分線為y=-

1

k

x，它與直線l：x+y-3=0的交點記為P（x₀，y₀），
所以

y=-x+3 y=- 1 k x

，解得

x0= 3k k-1 y0= -3 k-1

，則|PO|=

9k2+9 (k-1)2

，
因為△PAB為等邊三角形，所以應有|PO|=

3

|AO|，
代入得到

9k2+9 (k-1)2

=

3

•

3k2+3 3k2+1

，解得k=0（舍），k=-1，
此時直線AB的方程為y=-x，
綜上，k的值為0或-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的基礎，應熟練掌握．