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已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，直線AF₁，AF₂分別交橢圓于點B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設點P（m，n）（m，n為常數）在直線BO上且在橢圓外，過P的動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點Q，滿足

MP

NP

=

MQ

QN

，試證明點Q恒在一定直線上．

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點F₁，且與x軸垂直，動直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（III）設C₂上的兩個不同點R、S滿足

OR

•

RS

=0，求|

OS

|的取值范圍（O為坐標原點）．