Question

如圖，A、B分別是橢圓的公共左右頂點(diǎn)，P、Q分別位于橢圓和雙曲線(xiàn)上且不同于A、B的兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求證：O、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)；（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（2）設(shè)F₁、F₂分別是橢圓和雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0，從而得出（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）最后有：O、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)；
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=因?yàn)镺、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)再結(jié)合方程思想即可求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則k₁+k₂+k₂+k₄==…（2分）
又x₁²-4=-4y₁²，x₂²-4=4y₂²所以k₁+k₂+k₃+k₄==…（4分）       
由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0
即（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）所以O(shè)、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)        …（6分）
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=
因?yàn)镺、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以…①…（7分）              
設(shè)直線(xiàn)PQ的斜率為k，則…②
由①②得  k²=（9分）
又k₁k₂=，k₃k₄=…（10分）
從而k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁k₂+k₃k₄）=2（k₁+k₂）²=
=8…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題、雙曲線(xiàn)與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生用方程思想等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．