Question

如圖，A、B分別是橢圓的公共左右頂點，P、Q分別位于橢圓和雙曲線上且不同于A、B的兩點，設直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求證：O、P、Q三點共線；（O為坐標原點）
（2）設F₁、F₂分別是橢圓和雙曲線的右焦點，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0，從而得出（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）最后有：O、P、Q三點共線；
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=因為O、P、Q三點共線再結合方程思想即可求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值，從而解決問題．
解答：解：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則k₁+k₂+k₂+k₄==…（2分）
又x₁²-4=-4y₁²，x₂²-4=4y₂²所以k₁+k₂+k₃+k₄==…（4分）       
由k₁+k₂+k₃+k₄=0得y₁x₂-y₂x₁=0
即（x₁，y₁）∥（x₂，y₂）所以O、P、Q三點共線        …（6分）
（2）由PF₁∥QF₂知|OP|：|OQ|=
因為O、P、Q三點共線，
所以…①…（7分）              
設直線PQ的斜率為k，則…②
由①②得  k²=（9分）
又k₁k₂=，k₃k₄=…（10分）
從而k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁k₂+k₃k₄）=2（k₁+k₂）²=
=8…（12分）
點評：本題主要考查圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線與橢圓的幾何性質等知識，考查學生用方程思想等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．