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已知函數，.

（Ⅰ）若函數依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數的最大值.

【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。

第二問中，利用存在實數，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區間上是減函數。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區間上遞增，在區間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數m的最大值為5

設數列的各項均為正實數，，若數列滿足，，其中為正常數，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數，使得當時，恒成立？若存在，求出使結論成立的的取值范圍和相應的的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若，設數列對任意的，都有成立，問數列是不是等比數列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由.

（Ⅰ）證明：對任意實數，數列不是等比數列；

（Ⅱ）證明：當

（Ⅲ）設為數列的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n，都有

     若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.