Question

設(shè)數(shù)列的各項均為正實數(shù)，，若數(shù)列滿足，，其中為正常數(shù)，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的的取值范圍和相應(yīng)的的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若，設(shè)數(shù)列對任意的，都有成立，問數(shù)列是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項公式；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）由條件可知，數(shù)列為等差數(shù)列，又知，其通項公式易求，再根根據(jù)數(shù)列與數(shù)列的關(guān)系，可求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）中所求的數(shù)列的通項公式，可對進行化簡，然后再對其考察；（3）當(dāng)時，結(jié)合（1）的結(jié)果，可求出，代入中，設(shè)法對其變形處理，找到的遞推關(guān)系再進行判斷.
試題解析：
（1）因為，所以，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以，          2分
故由，得.                     4分
（2）因為，所以，
又，所以，                                  6分
（ⅰ）當(dāng)時，，解得，不符合題意；   7分
（ⅱ）當(dāng)時，，解得或.                8分
綜上所述，當(dāng)時，存在正整數(shù)使得恒成立，且的最小值為4.
9分
（3）因為，由（1）得，
所以       ①，
則    ②，
由②①，得                 ③， 12分
所以                   ④，
再由④③，得，即，
所以當(dāng)時，數(shù)列成等比數(shù)列，                          15分
又由①式，可得，，則，所以數(shù)列一定是等比數(shù)列，且.
16分
（說明：若第（3）小題學(xué)生由前幾項猜出等比數(shù)列，再代回驗證的，扣3分）
考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列.