已知函數（1）判斷函數的對稱性和奇偶性；（2）當時，求使成立的的集合；（3）若，記，且在有最大值，求的取值范圍.

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判斷函數f（x）的對稱性和奇偶性；
（2）當a=2時，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），試問F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．