Question

已知函數f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判斷函數f（x）的對稱性和奇偶性；
（2）當a=2時，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）-f（x），試問F（x）在（0，+∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）可以采用畫圖形的方法直觀上直接判定該函數的對稱性，再結合定義判定，也可以舉出反例，直接推翻奇偶函數的定義，．
（2）問題的實質是屬于解關于x的方程問題，本題要注意絕對值符號去掉時要對變量x進行討論．
（3）構建函數F（x）=g（x）-f（x）是我們解決此類問題的常見手段，有了具體的函數模型再結合其單調性性質即可，注意對常量a的討論使用．

解答：解：（1）由函數f（x）=

x-a   (x≥a) -x+a (x＜a)

可知，函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱．
當a=0時，函數f（x）=|x|，顯然是一個偶函數；
當a≠0時，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠

f(x) -f(x)

，
故函數f（x）=|x-a|是非奇非偶函數．
（2）若a=2，且g²（x）f（x）=4x
可得：x²|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+

2

，
故所求的集合為{0，1，1+

2

}．
（3）對于 a＞0，F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a+1)x-a (0＜x＜a) (a-1)x+a  (x≥a)

若a＞1時，函數F（x）在區間（0，a），[a，+∞）上遞增，無最大值；
若a=1時，F（x）=

2x- 1  (x＜1)  1      (x≥1)

有最大值為1
若0＜a＜1時，F（x）在區間（0，a）上遞增，在[a，+∞）上遞減，F（x）有最大值 F（a）=a²；
綜上所述得，當0＜a≤1時，函數F（x）有最大值．

點評：1、定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要（但不充分）條件．
2、判定函數奇偶性常見步驟：①判定其定義域是否關于原點對稱，
②判定f（x）與f（-x）的關系．
提醒：含有參數的最值問題，往往需要通過對參數的分類討論其單調性來求解．