長春市某中學高三（1）班40名學生在一次數學測驗中，成績全部介于100分與150分之間，將測驗成績按如下方式分成五組：第一組[100，110）；第二組[110，120），…，第五組[140，150]．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）若成績在130分以上為優秀，求該班在這次測驗中成績優秀的人數；
（II）估計該班在這次測驗中的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（III）該班有3名學生因故未參加考試，如果他們參加考試，且彼此之間的成績不受影響，以已知樣本數據的頻率作為這3名同學成績的概率．試求這3名學生中至少有1人成績不低于130分的概率．

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長春市某中學高三（1）班40名學生在一次數學測驗中，成績全部介于100分與150分之間，將測驗成績按如下方式分成五組：第一組[100，110）；第二組[110，120），…，第五組[140，150]．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）若成績在130分以上為優秀，求該班在這次測驗中成績優秀的人數；
（II）估計該班在這次測驗中的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（III）該班有3名學生因故未參加考試，如果他們參加考試，且彼此之間的成績不受影響，以已知樣本數據的頻率作為這3名同學成績的概率．試求這3名學生中至少有1人成績不低于130分的概率．

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某校高一(2)班共有60名同學參加期末考試，現將其數學學科成績(均為整數)分成六個分數段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，畫出如下圖所示的部分頻率分布直方圖，請觀察圖形信息，回答下列問題：
(1)求70~80分數段的學生人數；
(2)估計這次考試中該學科的優分率(80分及以上為優分)；
(3)現根據本次考試分數分成下列六段(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第六組)，為提高本班數學整體成績，決定組與組之間進行幫扶學習．若選出的兩組分數之差大于30分(以分數段為依據，不以具體學生分數為依據)，則稱這兩組為“最佳組合”，試求選出的兩組為“最佳組合”的概率。

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

A

B

D

B

C

B

C

D

B

1．提示：所以，故選C。

2．提示：命題P：，所以命題P是假命題，

命題Q

當時，。 ，所以以命題Q是真命題，故選D。故選A。

3．提示：又，所以，故選D。

4．提示：在AB上取點D，使得，則點P只能在AD內運動，則，

5．提示：故選B。

6．提示：由圖（1）改為圖（2）后每次循環時的值都為1，因此運行過程出現無限循環，故選D

7．提示：設全班40個人的總分為S，

則，故選B。

8．提示：

所以約束條件為表示的平面區域是以點O（0，0），，N（0，1），Q（2，3）為頂點的平行四邊形（包括邊界），故當時，的最大值是4，故選C。

9．提示：由及得

如圖

過A作于M,則

 得.

故選B.

10．提示：不妨設點（2，0）與曲線上不同的三的點距離為分別，它們組成的等比數列的公比為若令，顯然，又所以，不能取到。故選B。

11．提示：使用特值法：取集合當可以排除A、B；

取集合，當可以排除C；故選D；

12．提示：n棱柱有個頂點，被平面截去一個三棱錐后，可以分以下6種情形（圖1~6）

在圖4，圖6所示的情形，還剩個頂點；

在圖5的情形，還剩個頂點；

在圖2，圖3的情形，還剩個頂點；

在圖1的情形，還剩下個頂點.故選B.

二、填空題：

13．   

提示：由

14． 

提示：斜率 ，切點，所以切線方程為：

15．

提示：當時，不等式無解，當時，不等式變為 ，

由題意得或，所以，或

16．

三、解答題：

17．解：① ∵∴的定義域為R；

② ∵，

 ∴為偶函數；

③ ∵,  ∴是周期為的周期函數；

④ 當時，= ，

∴當時單調遞減；當時，

=，

單調遞增；又∵是周期為的偶函數，∴在上單調遞增，在上單調遞減（）；

⑤ ∵當時；

當時．∴的值域為；

 ⑥由以上性質可得：在上的圖象如圖所示：

18．解：（Ⅰ）取PC的中點G，連結EG，GD，則

由（Ⅰ）知FD⊥平面PDC，面PDC，所以FD⊥DG。

所以四邊形FEGD為矩形，因為G為等腰Rt△RPD斜邊PC的中點，

所以DG⊥PC，