題目列表(包括答案和解析)
（12分）如圖，在正方體
中，
為
中點，
∩
于
。
求證：
⊥平面
。
（12分）如圖，在正方體
中，
為
中點，
∩
于
。
求證：
⊥平面
。
如圖，在正方體
中，
為
中點，
于
。求證：
⊥平面
.
如圖，在正方體
中，
是
中點，
則
與平面
所成角的正弦值為 ▲
．
如圖，在正方體
中，
為對角線
的三等分點，到各頂點的距離的不同取值有（ ）
A．
個 B．
個
C．
個 D．
個
一、選擇題（每題5分共50分）
1．D 2．A 3．Ｂ 4．C 5．C
6．Ｃ 7．Ｂ 8．Ｃ 9．C 10．D
二、填空題（每題5分共20分）
11．
12．
13．
14．（0，2），
15．3
三、解答題（共80分）
16．解：（Ⅰ）由已知得：
，
又
是△ABC的內角，所以
．
（2）由正弦定理：
，
又因為
，
，又
是△ABC的內角，所以
．
17．證明：連結AB，A1D，在正方形中，A1B=A1D，O是BD中點，
∴A1O⊥BD；
連結OM，A
a=MC1
OA=OC=
a，AC=
a，
∴A1O2=Aa2=
a2，OM2=OC2+MC2=
a2，A
a2=
a2,∴A
∴A1O⊥OM，
∴AO1⊥平面MBD
18解：（Ⅰ）
，
因為函數
在
及
取得極值，則有
，
．
即
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
當
時，
；
當
時，
；
當
時，．
所以，當時，取得極大值
，又
，
．
則當
時，的最大值為．
因為對于任意的，有
恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范圍為
．
19．解（Ⅰ）由題意知
，
當n≥2時，
，
，
兩式相減得 
整理得：
∴數列{
}是以2為首項，2為公比的等比數列。
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴bn=n
， …………①
， …………②
①－②得
，
∴
，
∴
，
20．解：設這臺機器最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費用為：
，
等號當且僅當
答：這臺機器最佳使用年限是12年，年平均費用的最小值為1.55萬元．
21．⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為
⑵ 得 (1?3k2)x2?6kx?9=0
x1＋x2= , x1x2=
由△>0 得 k2<1
由= x1x2＋y1y2=(1＋k2) x1x2＋k(x1＋x2)＋2>2得 <k2<3
所以，<k2<1
即k∈(?1, )∪( , 1 )
附加題
(1)證明：先將變形：
,
當
，即
時，∴
恒成立，
故的定義域為
。
反之，若對所有實數
都有意義，則只須
。
令
，即
，解得，故。
(2)解析：設
，
∵
是增函數，
∴當
最小時，最小。
而
，
顯然，當
時，取最小值為
，
此時
為最小值。
(3)證明：當時，
，
當且僅當m=2時等號成立。
∴
。
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