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題目列表(包括答案和解析)

有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數列．
（Ⅰ）證明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項式），并求p₁+p₂的值；
（Ⅱ）當d₁=1，d₂=3時，將數列d_m分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每組數的個數構成等差數列）．設前m組中所有數之和為（c_m）⁴（c_m＞0），求數列{2cmdm}的前n項和S_n．
（Ⅲ）設N是不超過20的正整數，當n＞N時，對于（Ⅱ）中的S_n，求使得不等式

(Sn-6)＞dn成立的所有N的值．

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有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現假設下雨和蒸發平衡，且污染物和湖水均勻混合．用g(t)=

+[g(0)-

]e-

t(p≥0)，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數（我們稱其湖水污染質量分數），g（0）表示湖水污染初始質量分數．
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染初始質量分數；
（2）分析g(0)＜

時，湖水的污染程度如何．

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有一個項數為10的實數等比數列{a_n}，S_n（n≤0）表示該數列的前n項和．
（1）當2＜k≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列；
（2）研究當k∈{3，4}時，S_k，s₁₀，S₇能否成等差數列，如果能，請求出公比；如果不能，并請說明理由．

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有兩個向量

=(1，0)，

=(0，1)，今有動點P，從P₀（-1，2）開始沿著與向量

相同的方向作勻速直線運動，速度為|

|；另一動點Q，從Q₀（-2，-1）開始沿著與向量3

相同的方向作勻速直線運動，速度為|3

|．設P、Q在時刻t=0秒時分別在P₀、Q₀處，則當

⊥

P0Q0

時，t=

秒．

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有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為vm³，現假設下雨和蒸發正好平衡，且污染物質與湖水能很好地混合．用g（t）表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質（g），我們稱其為在時刻t時的湖水污染質量分數．已知目前污染源以每天pg的污染物質污染湖水，湖水污染質量滿足關系式g（t）=

+[g(0)-

]e-

t（p≥0），其中g（0）是湖水污染的初始質量分數．
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染的初始質量分數；
（2）求證：當g（0）＜

時，湖泊的污染程度將越來越嚴重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問經過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%

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