Question

有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現假設下雨和蒸發平衡，且污染物和湖水均勻混合．用g(t)=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t(p≥0)，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數（我們稱其湖水污染質量分數），g（0）表示湖水污染初始質量分數．
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染初始質量分數；
（2）分析g(0)＜

p

r

時，湖水的污染程度如何．

Answer 1

分析：（1）根據湖水污染質量分數為一個常數，可以設0≤t₁＜t₂，必有g（t₁）=g（t₂），因式分解得關于g（0）的方程，解這個方程可得g(0)=

p

r

；
（2）設0＜t₁＜t₂，利用作差將所得式子因式分解，再根據已知條件討論這個差的正負，可得g（t₁）＜g（t₂），可得函數為增函數，所以隨著時間的推移，湖水污染越來越嚴重．

解答：解：（1）設0≤t₁＜t₂，
因為g（t）為常數，g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]=0，則g(0)=

p

r

；
（2）設0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]
=[g(0)-

p

r

]•

e r v t2-e r v t1

e r v t1+t2

因為g(0)-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
故隨著時間的推移，湖水污染越來越嚴重．

點評：本題考查含有字母參數函數的性質研究，屬于中檔題．在求值和討論單調性時，應該注意因式分解技巧的應用．