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已知三次函數【查看更多】

19、已知三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數y=f（x）的表達式；
（II）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區間[m-3，n]上的值域為[-4，16]，試求m、n應滿足的條件．

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已知三次函數f(x)=

1

3

x3+

b

2

x2+x在R上有極值，則實數b的范圍為

（-∞，-2）∪（2，+∞）

．

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（2012•惠州模擬）已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（2）當a=1時，若-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，試求f（2）的取值范圍；
（3）對?x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，試求實數a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

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（2012•宣城模擬）已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）為R上奇函數，且在x=

3

處取得極值-

2

3

9

．記函數圖象為曲線C．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）設曲線C與其在點P₁（1，f（1））處的切線交于另一點P₂（x₂，f（x₂）），線段P₁P₂與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₁，求S₁的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設曲線C與其在點P₂處的切線交于另一點P₃（x₃，f（x₃）），線段P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S₂，…，按此方法依次做下去，即設曲線C與其在點P_n（x_n，f（x_n））處的切線交于另一點P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），線段P_nP_n+1與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S_n，試求S_n關于n的表達式．

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已知三次函數f（x）=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）的導數為f′（x）滿足條件：
（i）當x∈R時，f′（x-4）=f′（2-x），且f′（x）≥x；
（ii）當x∈（O，2）時，f′（x）≤(

x+1

2

)2；
（iii）f′（x）在R上的最小值為0．數列{a_n}是正項數列，{a_n}的前n項的和是S_n，且滿足S_n=f′（a_n）．
（1）求f′（x）的解析式；
（2）求證：數列{a_n}是等差數列；
（3）求證：

C

0

n

a1

+

C

1

n

a2

+

C

2

n

a3

+…+

C

n

an+1

≤2n-1•

a1+an+1

a1an+1

．

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一、選擇題（共60分）

1―6DDBBAC 7―12DABCAC

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共20分）

13．3

14．

15．

16．240

三、解答題：本大題有6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（1）

1分

5分

（2）

7分

由余弦定理 9分

10分

18．（1）記“這名考生通過書面測試”為事件A，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，

故 4分

（2）由題意得的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，且

8分

的分布列為：

0

1

2

3

4

P

10分

12分

19．解法一：（1）在直平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

又

4分

又

（2）如圖，連B₁C，則

易證∽

中點，

8分

取CD中點M，連BM，則平面CC₁D₁D，

作于N，連NB，由三垂線定理知：

是二面角B―DE―C的平面角 10分

在

則二面角B―DE―C的大小為 12分

解法二：（1）以D為坐標原點，射線DA為軸，建立如圖所示坐標為

依題設

又

平面BDE 6分

8分

由（1）知平面BDE的一個法向量為

取DC中點M，則

等于二面角B―DE―C的平面角 10分

12分

20．解：（1）由已知得 2分

由

遞減

在區間[-1，1]上的最大值為 4分

又

由題意得

故為所求 6分

（2）解：

8分

二次函數的判別式為：

令

令 10分

為單調遞增，極值點個數為0 11分

當=0有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點 12分

21．解：（1）設

化簡得 3分

（2）將 4分

法一：兩點不可能關于軸對稱，

的斜率必存在

設直線DE的方程為

由 5分

6分

7分

且

8分

將代化入簡得

9分

將，

過定點（-1，-2） 10分

將，

過定點（1，2）即為A點，舍去 11分

12分

法二：設（5分）

則 6分

同理

由已知得 7分

設直線DE的方程為

得 9分

10分

即直線DE過定點（-1，-2） 12分

22．解：（1）由 2分

于是

即 3分

有 5分

6分

（2）由（1）得 7分

而

10分

當

于是

故命題得證 12分

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