Question

（2012•惠州模擬）已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（1）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（2）當a=1時，若-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，試求f（2）的取值范圍；
（3）對?x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，試求實數a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-1）=-a+b-c=2，①

f(1)=-2 f′(1)=0

，即

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

②，由①②可解得得a、b、c的值，可寫解析式；
（2）由f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c可知f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6，求得-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3整體利用可求f（2）的范圍；
（3）?x∈[-1，1]，都有|f′（x）|≤1，可知|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1，及6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）可求a的最大值

2

3

，由此可解bc的值，即得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）過點（-1，2），∴f（-1）=-a+b-c=2，①
由f′（x）=3ax²+2bx+c，函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y+2=0
∴

f(1)=-2 f′(1)=0

，∴

a+b+c=-2 3a+2b+c=0

，②
由①和②解得

a=1 b=0 c=-3

，故f（x）=x³-3x；
（2）當a=1時，f（x）=x³+bx²+cx，∴f（1）=1+b+c，f（-1）=-1+b-c
可得：c=

f(1)-f(-1)

2

-1，b=

f(1)+f(-1)

2

∴f（2）=8+4b+2c=3f（1）+f（-1）+6
又由題意-2≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤3，∴-3≤3f（1）≤9，
故1≤3f（1）+f（-1）+6≤16，
即1≤f（2）≤16．
（3）∵f′（x）=3ax²+2bx+c，則

f′(0)=c f′(-1)=3a-2b+c f′(1)=3a+2b+c

，可得6a=f′（-1）+f′（1）-2f′（0）
∵當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，∴|f′（-1）|≤1，|f′（0）|≤1，|f′（1）|≤1
∴6|a|=|f′（-1）+f′（1）-2f′（0）|≤|f′（-1）+f′（1）+2f′（0）|≤4
∴a≤

2

3

，故a的最大值

2

3

，
當a=

2

3

時，

|f′(0)|=|c|=1 |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 |f′(1)|=|2+2b+c|=1

，解得

b=0 c=-1

，
∴a取得最大值時f（x）=

2

3

x³-x．

點評：本題為導數和不等式的綜合應用，涉及整體代入法求取值范圍，屬中檔題．