題目列表(包括答案和解析)
某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現紅燈的概率都是
，出現綠燈的概率都是
．記這4盞燈中出現紅燈的數量為
，當這排裝飾燈閃爍一次時：
（1）求
時的概率；（2）求的數學期望．
（12分）某通道有三道門，在前兩道門前的匣子里各有3把鑰匙（第三道門前沒有鑰匙），其中一把能打開任何一道門，一把只能打開本道門，還有一把不能打開任何一道門.現從第一道門開始，隨機地從門前的匣子里取一把鑰匙開門，若不能進入，就終止；若能進入，再從第二道門前的匣子里隨機地取一把鑰匙，并用已得到的兩把鑰匙開門,若不能進入就終止；若能進入，繼續用這兩把鑰匙開第三道門，記隨機變量
為打開的門數.
（Ⅰ）求
時的概率；
（Ⅱ）求的數學期望.
、如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝5，AC＝7.現在向該矩形內隨機投一點P，求
時的概率。
袋中有分別寫著“團團”和“圓圓”的兩種玩具共
個且形狀完全相同，從中任取
個玩具都是“圓圓”的概率為
，
、
兩人不放回從袋中輪流摸取一個玩具，先取，后取，然后再取，……
直到兩人中有一人取到“圓圓”時即停止游戲．每個玩具在每一次被取出的機會是均等的，用
表示游戲終止時取玩具的次數．
（1）求
時的概率；[來源:Zxxk.Com]
（2）求的數學期望．
（本題滿分１4分） 袋中有分別寫著“團團”和“圓圓”的兩種玩具共
個且形狀完全相同，從中任取
個玩具都是“圓圓”的概率為
，
、
兩人不放回從袋中輪流摸取一個玩具，先取，后取，然后再取，……直到兩人中有一人取到“圓圓”時即停止游戲．每個玩具在每一次被取出的機會是均等的，用
表示游戲終止時取玩具的次數．
（1）求
時的概率；
（2）求的數學期望．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
C
A
C
B
D
B
11、2；12、
；13、
；14、
；15、
；16、
17、解：（1）
， （6分）
∴
的最小正周期為
． （8分）
（2）∵
，∴
，
故
． （12分）
18、解：（１）
表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
②三取取球中有2次出現最大數字3的概率
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
∴
． ……………………………………………………6分
（２）在
時, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布為：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………12分
19、解：（Ⅰ）作
，垂足為
，連結
，由側面
底面
，得
底面．
因為
，所以
，
又
，故
為等腰直角三角形，
，
由三垂線定理，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設
，
故
，由
，
，
，得
，
．
的面積
．
連結
，得
的面積
設
到平面
的距離為
，由于
，得
，
解得
．
設
與平面所成角為
，則
．
所以，直線與平面
所成的我為
．
20、解：（I）由題意知
，因此
，從而
．
又對求導得
．
由題意
，因此
，解得
．
（II）由（I）知
（
），令
，解得
．
當
時，
，此時為減函數；
當
時，
，此時為增函數．
因此的單調遞減區間為
，而的單調遞增區間為
．
（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使
（）恒成立，只需
．
即
，從而
，
解得
或
．
所以
的取值范圍為
．
21、解：（Ⅰ）解法一：易知
所以
，設
，則
因為
，故當
，即點為橢圓短軸端點時，
有最小值
當
，即點為橢圓長軸端點時，有最大值
解法二：易知，所以，設，則
（以下同解法一）
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線
，
聯立
，消去
，整理得：
∴
由
得：
或
又
∴
又
∵
，即
∴
故由①、②得
或
22、（I）解：方程
的兩個根為
，
，
當
時，
，
所以
；
當
時，
，
，
所以
；
當
時，
，
，
所以
時；
當
時，
，
，
所以
．
（II）解：
．
（III）證明：
，
所以
，
．
當
時，
，
，
同時，
．
綜上，當
時，
．
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