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三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（1）求直線MN與平面A₁B₁C所成的角；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值為

3 10

10

？若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由．

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三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（1）求直線MN與平面A₁B₁C所成的角；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值為？若存在，求出AE的長，若不存在，請說明理由．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點．
（I）求證：MN∥平面PCD；
（II）在棱PC上是否存在點E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點．
（I）求證：MN∥平面PCD；
（II）在棱PC上是否存在點E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由．

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如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足=λ（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

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數   學（理科）    2009.4

一、選擇題：本大題共有10小題，每小題5分，共50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

A

B

B

A

C

C

B

B

二、填空題：本大題共有7小題，每小題4分，共28分．

11． －1   12． 110   13． 78   14．  15．  16． 7   17．

三．解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

18．（Ⅰ）解：．……………………… 4分

由，解得 ．

所以函數的單調遞增區間為 ．…………… 7分

（Ⅱ）解：由，得．故．……………… 10分

于是有 ，或，

即或．因，故．……………… 14分

19．（Ⅰ）解：恰好摸到兩個“心”字球的取法共有4種情形：

開心心，心開心，心心開，心心樂．

則恰好摸到2個“心”字球的概率是

．………………………………………6分

（Ⅱ）解：，

則 ，，

．…………………………………………10分

故取球次數的分布列為

1

2

3

．…………………………………………………14分

20．（Ⅰ）解：因在底面上的射影恰為B點，則⊥底面．

所以就是與底面所成的角．

因，故 ，

即與底面所成的角是．……………………………………………3分

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則

，

，．

則，

故與棱BC所成的角是．…………………………………………………7分

（Ⅱ）解：設，則．于是

（舍去），

則P為棱的中點，其坐標為．…………………………………………9分

設平面的法向量為，則

，故．…………………11分

而平面的法向量是，

則，

故二面角的平面角的余弦值是．………………………………14分

21．（Ⅰ）解：由題意知：，，，解得．

故橢圓的方程為．…………………………………………………5分

   （Ⅱ）解：設，

⑴若軸，可設，因，則．

由，得，即．

若軸，可設，同理可得．……………………7分

⑵當直線的斜率存在且不為0時，設，

由，消去得：．

則．………………………………………9分

．

由，知．

故 ，即（記為①）．…………11分

由，可知直線的方程為．

聯立方程組，得 （記為②）．……………………13分

將②代入①，化簡得．

綜合⑴、⑵，可知點的軌跡方程為.………………………15分

22．（Ⅰ）證明：當時，．令，則．

若，遞增；若，遞減，

則是的極（最）大值點．于是

，即．故當時，有．………5分

（Ⅱ）解：對求導，得．

①若，，則在上單調遞減，故合題意．

②若，．

則必須，故當時，在上單調遞增．

③若，的對稱軸，則必須，

故當時，在上單調遞減．

綜合上述，的取值范圍是．………………………………10分

（Ⅲ）解：令．則問題等價于

        找一個使成立，故只需滿足函數的最小值即可．

        因，

而，

故當時，，遞減；當時，，遞增．

于是，．

與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．……………………15分