Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N分別是PA、BC的中點．
（I）求證：MN∥平面PCD；
（II）在棱PC上是否存在點E，使得AE上平面PBD？若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PD中點為F，連接FC，MF．證明四邊形MNCF為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．設AB=2，推出B，D，P，C，設PC上一點E坐標為（x，y，z），求出，平面PBC的法向量．通過求解即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：取PD中點為F，連接FC，MF．
∵，．
∴四邊形MNCF為平行四邊形，（3分）
∴MN∥FC，又FC?平面PCD，（5分）
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
設AB=2，則B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
設PC上一點E坐標為（x，y，z），，
即（x，y，z-2）=λ（2，2，-2），
則E（2λ，2λ，2-2λ）．（7分）
由，解得．
∴．（9分）
作AH⊥PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，取為平面PBC的法向量．則，
∴設AE與平面PBC所成角為θ，，的夾角為α，
則．（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角的求法，考查向量數量積公式的應用，考查空間想象能力，計算能力．