Question

如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足=λ（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，分別求出與的坐標，要證PN⊥AM，只需求證它們的數量積為零即可；
（II）設出平面ABC的一個法向量，表達出sinθ，利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的λ值，進而求出此時θ的正切值；
（III）求出平面AMN的法向取=（1，-1，2），=（，0，1），利用d=可得結論．
解答：（Ⅰ） 證明：以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz
則P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，）
∴，=（0，1，）
從而=，∴PN⊥AM；
（Ⅱ）解：平面ABC的一個法向量為=（0，0，1），
則sinθ=|cos＜，＞|==
而，當θ最大時，sinθ最大，tanθ最大，
故λ=時，sinθ取到最大值時，tanθ=2．
（Ⅲ）解：設平面AMN的法向量為=（x，y，z）   
由•=0，•=0，得，∴可取=（1，-1，2）
∵=（，0，1）
∴d==．
點評：利用向量知識解決立體幾何問題的優點在于用代數化的方法解決立體幾何，解題的關鍵在于用坐標表示空間向量，熟練掌握向量夾角公式