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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的正弦值為（　　）

A、 6 3

B、 2 5 5

C、 15 5

D、 10 5

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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則AC₁與平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值為（　　）

A、 2 2 3

B、 2 3

C、 2 4

D、 1 3

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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則BC₁與平面BB₁D₁D所成角的余弦值為 
（　　）

A、 6 3

B、 2 5 5

C、 15 5

D、 10 5

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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，A₁D與BC₁所成角為90°，則直線BC₁與平面BB₁D₁D所成角的大小為

 

．

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如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，則AC₁與平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值為

1

3

1

3

．

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一選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，．設（），則 ，所以是等差數列，所以的前項和

11．由題，消去可得：，又由題有：，由以上條件可得：點的軌跡為如圖所示的線段，而表示點到坐標原點的距離的平方，所以

12．設點到左準線的距離為，則由雙曲線的第二定義有：，由題有，所以，又由第一定義（在右支上），所以，，又由點在右支上，則，，解得：，而，所以

二．填空題

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在單調遞減，

16．如圖，設三棱錐得體積為,，當且僅當時三棱錐體積最大，過點作,連接，由題可知平面,由三垂線定理可知為側面與底面成的角，所以，而用等面積法可知：，，所以，代入，得

三．解答題

17．解：（1）取OB中點E，連接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）連接為異面直線與所成的角（或其補角）…7分

由于，所以,,為等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：連接，設點B到平面OCD的距離為，

由,,,為等腰三角形，

的高為，………11分

又，又 

點B到平面OCD的距離為…………………………………………13分

解法二：點A和點B到平面OCD的距離相等，取的中點P連

接OP,過點作 于點Q，，又

又 ,

線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離, ………………………………12分

由題可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，為中點．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如圖，作交于點，連接，

由已知得平面．是在面內的射影．

由三垂線定理知，為二面角的平面角．……………9分

過作交于點，則，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角為．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因為} 按向量平移后得函數_……..2分

由g(x)圖像關于原點對稱得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

當（舍）所以…….6分

（2）證明：因為

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  橢圓方程為……5分

   （II），且定值為    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直線的斜率………………………………6分

       設直線的方程為

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因為

          又

       是定值。…………12分

22．（1）（為正整數），

所以數列的反數列為的通項（為正整數）.   …………3分

（2）對于（1）中，不等式化為.

設，

，

∴數列單調遞增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式對于任意正整數恒成立的的取值范圍是.…………7分（3）設公共項為正整數.                    

①當為奇數時，.   ，

則（表示是的子數列），.所以的前項和.

② 當為偶數時，.，則，同樣有，.所以的前項和.                        …………12分