題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分14分）
如圖，A是單位圓與
軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且
，
，
，四邊形OAQP的面積為S.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
的最大值及此時
的值0.
（本題滿分14分）
如圖，A是單位圓與
軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且
，
，
，四邊形OAQP的面積為S.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求
的最大值及此時
的值0.
如圖，
、
是單位圓
上的點，
是圓與
軸正半軸的交點，點的坐標為
，三角形
為直角三角形．
（1）求
，
的值；
（2）求
的值．
如圖，
、
是單位圓
上的點，
是圓與
軸正半軸的交點，點的坐標為
，三角形
為直角三角形．
（1）求
，
的值；
（2）求
的值．
（本題滿分14分）
如圖，矩形
是機器人踢足球的場地，
，
，機器人先從
的中點
進入場地到點
處，
，
．場地內有一小球從
點運動，機器人從點出發去截小球，現機器人和小球同時出發，它們均作勻速直線運動，并且小球運動的速度是機器人行走速度的2倍．若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則機器人最快可在何處截住小球？
 |
一、填空題：
1．
2． 
3．
4．12
5．
6．11 7．
8．2009
9．4個 10．①②
11．解: 
。因為△ABC的面積為1, 
,所以,△ABE的面積為
,因為D是AB的中點,所以, △BDE的面積為
,因為
,所以△BDF的面積為
,當且僅當
時,取得最大值。
二、選擇題：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答題：
16．解：（Ⅰ）因為
點的坐標為
，根據三角函數定義可知
，
，
，
2分
所以
4分
（Ⅱ）因為三角形
為正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
8分
所以
。
11分
17．解：方法一：（I）證明：連結OC，因為
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
4分
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角， 5分
在
中，
因為
是直角斜邊AC上的中線，所以
所以
所以異面直線AB與CD所成角的大小為
。
8分
（III）解：設點E到平面ACD的距離為
，因為
9分
在
中，
所以
而
所以
，
所以點E到平面ACD的距離為
。
12分
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O為原點，如圖建立直角坐標系，則
，設
的夾角為
，則
所以異面直線AB與CD所成角的大小為。
（III）解：設平面ACD的法向量為
則
令
得
是平面ACD的一個法向量。又 
所以點E到平面ACD的距離 
。
18．解：（Ⅰ）由年銷售量為
件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤
分別為：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因為
所以
為增函數，
，所以
時，生產A產品有最大利潤為
（萬美元）
7分
又
，所以
時，生產B產品
有最大利潤為460（萬美元） 9分
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
11分
所以：當
時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
當
時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
當
時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分
19．解：（1）當
時，
，
成立，所以
是奇函數；
3分
當
時，
，這時
所以是非奇非偶函數；
6分
（2）當
時，
設
且
,則
9分
當
時，因為且，所以
所以
，
，所以是區間
的單調遞減函數。 12分
同理可得是區間
的單調遞增函數。
14分
20．解：（Ⅰ）由拋物線
：
知
，設
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知橢圓的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合題意，舍去）．
故橢圓的方程為
。
7分
（另法：因為在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以點O到直線
的距離為
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面視提出問題的質量而定：
如問題一：當
面積為
時，求直線的方程。（
） 得2分
問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（
） 得4分
21．解：（1）
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由題意知數列
的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1, 6分
從而
=
8分
=
。
10分
（3）當
時，因為
,
所以
12分
當
時，
因為，所以
，
14分
當
時，
所以
。
16分
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