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已知是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n，設集合．試問下列命題是否是真命題，如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請舉反例說明．

（1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

（2）至多有一個元素；

（3）當a₁≠0時，一定有．

 

已知是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n，設集合．試問下列命題是否是真命題，如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請舉反例說明．

　（1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

　（2）至多有一個元素；

　（3）當a₁≠0時，一定有．

 

已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.