Question

已知是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n，設集合．試問下列命題是否是真命題，如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請舉反例說明．

（1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

（2）至多有一個元素；

（3）當a₁≠0時，一定有．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：（1）正確．在等差數列中，則這表明點　的坐標適合方程，于是點均在直線上．

　（2）正確．設,則（x，y）中的坐標x，y應是方程組的解．由方程組消去y得：，當a₁＝0時，方程（*）無解，此時；當a₁≠0時，方程(*)只有一個解，此時，方程組也只有一個解，故上述方程組至多有一解．

∴至多有一個元素．

（3）不正確．取a₁=1,d=1，對一切的有，這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于．如果，那么由（2）知中至多有一個元素，而，

這樣的，矛盾，故a₁＝1，d＝1時，所以a₁≠0時，一定有是不正確的．

考點：本題主要考查集合的運算、等差數列及其性質、直線方程。

點評：這是解析幾何與數列的綜合題目，屬中檔題。對于數列的應用考查的比較多，這種題目可以作為高考卷的壓軸題目出現，題目中對于最后一問的證明要注意應用前面的結論。