Question

設{an}是等差數列，d為公差，并且d≠0，它的前n項和為Sn．設集合M＝｛(an，)｜n∈N*｝，N＝｛(x，y)｜x2－y2＝1，x、y∈R｝．下列結論是否正確?如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉一個反例說明． (1) 以集合M中的元素為坐標的點都在同一條直線上 (2) M∩N中至多有一個元素 (3) 當a1≠0時，一定有M∩N≠Φ

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：正確．證明如下： 　　∵Sn＝(a1＋an)，∴． 　　這說明適合方程y＝(a1＋x)， 　　因此，n∈N*，以為坐標的點在直線y＝(x＋a1)上． 　　分析：根據題目要求，先判斷，后論證．
(2)	正確;設(x，y)∈M∩N，據(1)知，(x，y) 是方程組的解，①代入②并化簡得，2a1x＋＝－4 ③．當a1＝0時③無解，從而方程組無解；當a1≠0時，③的解x＝④，從而方程組恰有一解，而且還需使x恰為｛an｝某一項，故M∩N中至多有一個元素． 　　點評：判斷時容易出錯，另外反例的構造需要一定的技巧．
(3)	不正確;例如取a1＝1．d＝1，我們來說明此時M∩N≠，用反證法，假設此時M∩N≠，則存在m∈N*使∈M∩N，從(2)中的④式知道am＝＝＝－，又有am＝a1＋(m－1)d＝1＋(m－1)·1－m，于是m＝，與m∈N*矛盾，因此當a1＝d＝1時M∩N≠． 　　點評：判斷時容易出錯，另外反例的構造需要一定的技巧．