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(理)已知函數 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（理）已知函數f(x)=2+
1
a
-
1
a2x
，實數a∈R且a≠0．
（1）設mn＞0，判斷函數f（x）在[m，n]上的單調性，并說明理由；
（2）設0＜m＜n且a＞0時，f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求a的范圍．

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（理）已知函數f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數，且在f′（x）min=-1（x∈R），
lim
x→0
f(3+x)-f(3)
x
=8．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）的圖象與函數m（x）=nx2-2x的圖象有三個不同的交點，且都在y軸的右方，求實數n的取值范圍；
（3）若g（x）與f（x）的表達式相同，是否存在區間[a，b]，使得函數g（x）的定義域和值域都是[a，b]，若存在，求出滿足條件的一個區間[a，b]；若不存在，說明理由．

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（理）已知函數f(x)=
sinπxx∈[0，1]
log2011xx∈(1，+∞)
若滿足地f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是
 
．
（文）在平面直角坐標系xOy中，設
OM
=(1，
1
2
)，
ON
=(0，1)，動點P（x，y）同時滿足
0≤
OP
•
OM
≤1
0≤
OP
•
ON
≤1
則z=x+y的最大值是
 
．

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精英家教網精英家教網（理）已知函數f(x)=
ln(2-x2)
|x+2|-2
．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區間（0，1）單調遞減；
（3）如圖給出的是與函數f（x）相關的一個程序框圖，試構造一個公差不為零的等差數列
{an}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標系中，方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且
AB
•
AD
=0，求D2+E2-4F的值；
（3）設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

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（理）已知函數f（x）=（
13
）x（x≤1）的反函數
 
．

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一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）

1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

10．B   11．（理）C（文）B       12．D

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）

13．                            14．②③                  15．47                     16．□

三、解答題（本大題共6小題，共計76分）

17．解：（1）依題意函數的圖象按向量平移后得

                                                ………………………2分

       即=                                                ………………………4分

       又

       比較得a=1，b=0                                                                     ………………………6分

   （2）

       =                                                              ………………………9分

      

      

       ∴的單調增區間為[，]          ……………………12分

18．解：

   （1）設連對的個數為y，得分為x

       因為y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

       

  • 
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
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    x
    0
    2
    4
    8
        
           于是x的分布列為
    


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  • 
 
    
  
 
    
 
    
  
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    ……9分
     
     
       （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2
           即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分
       （文）
       （1）從口袋A中摸出的3個球為最佳摸球組合即為從口袋A中摸出2個紅球和一個黑球
           其概念為                                                     ……………………6分
       （2）由題意知：每個口袋中摸球為最佳組合的概率相同，從5個口袋中摸球可以看成5
           次獨立重復試驗，故所求概率為………………………12分
    19．解法一：以D為原點，DA，DC，DD1
           所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建
           立空間直角坐標系D―xyz，則
           A（a，0，0）、B（a，2a，0）、
           C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、
           D1（0，0，a）。E、P分別是BC、A1D1
           的中點，M、N分別是AE、CD1的中點
           ∴……………………………………2分
      
（1）⊥面ADD1A1
           而=0，∴⊥，又∵MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分
      
（2）設面PAE的法向量為，又
           則又
           ∴=（4，1，2），又你ABCD的一個法向量為=（0，0，1）
           ∴
           所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分
      
（3）設為平面DEN的法向量⊥，⊥
           又=（），=（0，a，），（，0，a）
           ∴所以面DEN的一個法向量=（4，-1，2）
           ∵P點到平面DEN的距離為
           ∴
           
           所以                                              ……………………12分
           解法二：
       （1）證明：取CD的中點為K，連接
           ∵M，N，K分別為AE，CD1，CD的中點
           ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1
           ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                      ………………………4分
       （2）設F為AD的中點，∵P為A1D1的中點
           ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD
           作FH⊥AE，交AE于H，連結PH，則由三垂
           線定理得AE⊥PH，從而∠PHF為二面角
           P―AE―D的平面角。
           在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，
           從而FH=
           在Rt△PFH中，tan∠PHF=
           故：二面角P―AE―D的大小為arctan
       （3）
           作DQ⊥CD1，交CD1于Q，
           由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。
           在Rt△CDD1中，
           ∴  ……………………12分
    20．解：（理）
      
（1）函數的定義域為（0，+）
           當a=-2e時，              ……………………2分
           當x變化時，，的變化情況如下：
    （0，）
    （，+）
    ―
    0
    ＋
    ㄋ
    極小值
    ㄊ
           由上表可知，函數的單調遞減區間為（0，）
           單調遞增區間為（，+）
           極小值是（）=0                                                            ……………………6分
      
（2）由           ……………………7分
           又函數為[1，4]上單調減函數，
           則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。
           即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分
           又=在[1，4]上為減函數
           ∴的最小值為
           ∴                                                                            ……………………12分
      （文）（1）∵函數在[0，1]上單調遞增，在區間上單調遞減，
           ∴x=1時，取得極大值，
           ∴
           ∴4-12+2a=0a=4                                                                 ………………………4分
       （2）A（x0，f（x0））關于直線x=1的對稱點B的坐標為（2-
x0，f（x0）
           
           =
           ∴A關于直線x=1的對稱點B也在函數的圖象上            …………………8分
       （3）函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，等價于方程
           恰有3個不等實根，
           
           ∵x=0是其中一個根，
           ∴方程有兩個非零不等實根
                                           ……………………12分
    21．解：（理）（1）由已知得：
                   
           ∵                                                     ①…………………2分
           ∴                                                                 ②
           ②―①
           即
           又
           ∴                                                                      ……………………5分
           ∴{an}成等差數列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
      
（2）∵
           ∴
           ∴                   …………………8分
           兩式相減
           
           ∴                                                          ……………………10分
           ∴               ……………………12分
       （文）（1）由已知得：
           
           ∴
           ∵                                                     ①…………………2分
           ∴                                                                 ②
           ②―①
           即
           又
           ∴                                                                      ……………………5分
           ∴{an}成等差數列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分
       （2）∵
           ∴
           ∴                   …………………8分
           兩式相減
           
           ∴                                                          ……………………10分
           ∴               ……………………12分
     
    22．解：（1）
           設M（x，y）是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，
           所以點P的坐標為（x，3y）                                                   …………………2分
           點P在橢圓，所以
           因此曲線C的方程是                                           …………………5分
       （2）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件
           所以設直線l的方程為與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2），N點所在直線方
           程為
           ，由得
                                                   ……………………6分
           由△=………………8分
           ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形               …………………9分
           假設存在矩形OANB，則
           
           所以
           即                                                                   ……………………11分
           設N（），由，得
           ，
           即N點在直線
           所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為 ……………………14分
    		
    
	
	

    
	




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