Question

（理）已知函數f（x）=αx³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數，且在f′（x）_min=-1（x∈R），

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）的圖象與函數m（x）=nx²-2x的圖象有三個不同的交點，且都在y軸的右方，求實數n的取值范圍；
（3）若g（x）與f（x）的表達式相同，是否存在區間[a，b]，使得函數g（x）的定義域和值域都是[a，b]，若存在，求出滿足條件的一個區間[a，b]；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數，可得f（-x）=-f（x）恒成立得到b=d=0，由

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R）求得a，c得到解決；
（2）由題意方程

1

3

x3-x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三個不同的非負根，即x²-3nx+3=0有兩個不同的正根；
（3）假設存在，由函數g（x）的定義域和值域都是[a，b]，不妨取函數y=x，再由

y= 1 3 x3-x y=x

和f'（x）=x²-1=0．有函數f（x）在x∈[-

6

，(1，

6

]上單調遞增，在x∈（-1，1）上單調遞減．找到滿足條件的區間[α，β]即可．

解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數?f（-x）=-f（x）恒成立?b=d=0，f'（x）=3ax²+c，
由

lim

x→0

f(3+x)-f(3)

x

=8，知f'（3）=8；又f'（x）_min=-1（x∈R），
∴c=-1，f′(3)=27a-1=8?a=

1

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x．
（2）由題意方程

1

3

x3-x=nx²-2x即x（x²-3nx+3）=0有三個不同的非負根，即x²-3nx+3=0有兩個不同的正根，
∴

n＞0 △=9n2-12＞0

?n＞

2 3

3

．
（3）假設存在，由

y= 1 3 x3-x y=x

得x=0或x=±

6

．
令f'（x）=x²-1=0得x=±1，當x∈[-

6

，-1)或x∈(1，

6

]時f'（x）＞0；
當x∈（-1，1）時f'（x）＜0．
∴函數f（x）在x∈[-

6

，-1)，(1，

6

]上單調遞增，在x∈（-1，1）上單調遞減．
∴f（x）在[-

6

，

6

]上的極大值和極小值分別為f(-1)=

2

3

，f(1)=-

2

3

，而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

．
所以存在滿足條件的區間[α，β]，如x∈[-

6

，

6

]，y∈[-

6

，

6

]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，導數的定義和函數的單調性．