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(2)設A.B.C是函數圖象上三個不同的點.試判斷△ABC的形狀.并說明理由. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數f（x）對其定義域內的任意實數，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x1、x2、x3，…，xn都有（當x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正確命題的序號是    （寫出所有你認為正確命題的序號）．

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設函數f（x）對其定義域內的任意實數數學公式，則稱函數f（x）為上凸函數． 若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x1、x2、x3，…，xn都有數學公式（當x1=x2=x3=…=xn時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且數學公式；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是數學公式．
其中，正確命題的序號是________（寫出所有你認為正確命題的序號）．

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如果函數f（x）在區間D上有定義，且對任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數f（x）在區間D上的“凹函數”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判斷f（x）是否是“凹函數”，若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）對于（I）中的函數f（x）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用這個性質證明x0唯一；
（Ⅲ）設A、B、C是函數f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

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已知函數f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性質：“若x∈[a，b]，則存在x0∈（a，b），使得
f(b)-f(a)b-a
=f′(x0)”成立．
（1）利用這個性質證明x0唯一；
（2）設A、B、C是函數f（x）圖象上三個不同的點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

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已知函數有下列性質：“若，則存在，使得”成立

（I）證明：若，則唯一存在，使得；

 (II) 設A、B、C是函數圖象上三個不同的點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由

 

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一、選擇題

      
   
      
    
    
      
    
      2,4,6
      二、填空題
      13．   14．3  
15．－192    16． 22.2
      三、解答題
      17．解：（1）∵
      ∴①……………………2分
      ∴
      ∴②……………………4分
      聯立①，②解得：……………………6分
      （2）
      ……………………10分
      ∴……………………11分
      當
      此時……………………12分
      18．解：以D1為原點，D1A1所在直線為x軸，D1C1所在直線為y軸，D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
      則D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2）P（1，1，4）………………2分
         （1）∵
      ∴
      ∴PA⊥B1D1.…………………………4分
      （2）平面BDD1B­1的法向量為……………………6分
      設平面PAD的法向量，則n⊥
      ∴
      ∴…………………………10分
      設所求銳二面角為，則
      ……………………12分
      19．解：（1）從50名教師隨機選出2名的方法數為
      選出2人使用版本相同的方法數為
      故2人使用版本相同的概率為：
      …………………………5分
      （2）∵，
      0
      1
      2
      P
      ∴的分布列為
       
       
      ………………10分
      ∴……………………12分
      （可以不扣分）
      20．解：（1）依題意，
      即
      當
      兩式相減得，得
      ∴……………………4分
      當n=1時，
      ∴=1適合上式……………………5分
      故…………………………6分
      （2）由題意，
      ∴
      ………………10分
      不等式恒成立，即恒成立.…………11分
      經檢驗：時均適合題意（寫出一個即可）.……………………12分
      21．解：（1）設，
      由條件知
      ∴
      故C的方程為：……………………4分
      （2）由
      ∴…………………………5分
      設l與橢圓C交點為
      （*）
      ……………………7分
      ∵
      ∴
      ∴
      消去
      ∴
      整理得………………9分
      ，
      因，
      ∴
      ∴
      ∴
      容易驗證所以（*）成立
      即所求m的取值范圍為………………12分
      22．（1）證明：假設存在使得
      ∴
      ∵…………………………2分
      ∴
      ∴上的單調增函數.……………………5分
      ∴是唯一的.……………………6分
      （2）設
      ∵
      ∴上的單調減函數.
      ∴……………………8分
      ∵
      ∴…………10分
      ∵…………12分
      ∴
      ∴為鈍角
      ∴△ABC為鈍角三角形.……………………14分
       
       
      		
      
	
	

      
	




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