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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長；
（2）求此幾何體的表面積，并畫出此幾何體的主視圖和俯視圖（寫出各頂點(diǎn)字母）．

如圖所示，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是線段AC上任意一點(diǎn)．
（1）判斷直線B₁P與平面A₁C₁D的位置關(guān)系并證明；
（2）若AB=BC，E是AB中點(diǎn)，二面角A₁-DC₁-D₁的余弦值是

10

5

，求直線B₁E與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（Ⅰ）求棱A₁A的長；
（Ⅱ）自行連接BD，證明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．