Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是棱BC，CC₁上的點，CF=AB=2CE=2，AD=4，AA₁=8．
（1）求直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）求證：AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的余弦角．

Answer 1

分析：（1）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，求出直線A₁E的方向向量與平面AA₁DD₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值；
（2）分別求出AF，ED，A₁E的方向向量，根據數量積為0，兩向量垂直可判斷出AF與ED，A₁E均垂直，結合線面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（3）分別求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夾角公式即可求出二面角A₁-ED-F的正弦值．

解答： 解：（1）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，依題意得
D（0，4，0），F（2，4，2），A₁（0，0，8），E（2，3，0）
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

AB

是平面A₁ADD₁的一個法向量，
∵

AB

=（2，0，0），

A1E

=（2，3，-8）
∴cos＜

AB

，

A1E

＞=

AB • A1E

| AB |•| A1E |

=

2 77

77

故直線A₁E與平面AA₁DD₁所成角的正弦值為

2 77

77

（4分）
（2）證明：易知

AF

=（2，4，2），

EA1

=（-2，-3，8），

ED

=（-2，1，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．（8分）
（3）設平面EFD的法向量

n

=（x，y，z）
則

n • EF =0 n • ED =0

，即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令X=1，可得

n

=（1，2，-1）由（2）可知，

AF

為平面A₁ED的一個法向量．
于是cos ＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n |•| AF |

=

2

3

，
所以二面角A₁-ED-F的余弦值為

2

3

（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線間的夾角、距離，直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當的空間坐標系，將空間線、面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．