Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個(gè)幾何體的體積為

40

3

．
（Ⅰ）求棱A₁A的長；
（Ⅱ）自行連接BD，證明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，利用等體積法V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1，進(jìn)行求解．
 （Ⅱ）根據(jù)題意四邊形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根據(jù)D₁D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D₁DC，由A₁C₁∥AC，可得A₁C₁⊥平面D₁DC．從而可證平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A₁A=h，
∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=

40

3

，
即SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的長為4．
證明：（Ⅱ）如圖，連接AC、BD₁
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴A₁C₁∥AC．
∴四邊形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥D₁D又AC與BD相交
∴AC⊥平面D₁DC．   由A₁C₁∥AC．
∴A₁C₁⊥平面D₁DC．A₁C₁?平面A₁BC₁
∴平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力