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已知函數f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)且當x≤1時，f(x)≥0，當1≤x≤3時，f(x)≤0恒成立.

(1)求b、c之間的關系式.

(2)當c≥3時，是否存在實數m使得g(x)=f(x)-m²x在區間（0，+∞)上是單調函數？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

已知函數f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 -x2+ax+3 ，&x≥1

的圖象經過原點，且在x=-1處的切線斜率為-5．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函數在區間[-1，2]上的最大值．