Question

已知函數f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)且當x≤1時，f(x)≥0，當1≤x≤3時，f(x)≤0恒成立.

(1)求b、c之間的關系式.

(2)當c≥3時，是否存在實數m使得g(x)=f(x)-m²x在區間（0，+∞)上是單調函數？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)由已知f(1)≥0與f(1)≤0同時成立,則必有f(1)=0，故b+c+1=0.

    (2)假設存在實數m,使滿足題設的g(x)存在.

    ∵g(x)=f(x)-m²x=x²+(b-m²)x+c開口向上,且在［,+∞)上單調遞增，

    ∴≤0.∴b≥m²≥0.

    ∵c≥3,∴b=-(c+1)≤-4.

    這與上式矛盾,從而能滿足題設的實數m不存在.