Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2+2bx+c有兩個極值點x₁，x₂且x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，則直線bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范圍是（　　）

• A．(-

  2

  5

  ，

  2

  3

  )
• B．(-

  5

  2

  ，

  3

  2

  )
• C．(-

  2

  5

  ，

  1

  2

  )
• D．(-∞，-

  2

  5

  )∪(

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：求導數，利用函數f(x)=

1

3

x3+ax2+2bx+c有兩個極值點x₁，x₂且x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，確定平面區域，根據斜率的幾何意義，即可求得斜率的取值范圍．

解答：解：求導數可得：f'（x）=x²+2ax+2b∵f（x）有兩個極值點x₁，x₂，∴f'（x）有兩個零點
∵-1＜x₁＜1＜x₂＜2，∴-1＜-a＜2，∴-2＜a＜1               ①
又f'（-1）=-2a+2b+1＞0，即2a-2b-1＜0，②
f'（1）=2a+2b+1＜0，③
f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0       ④
在坐標系aOb中，滿足①②③④的可行域如圖所示
直線bx-（a-1）y+3=0的斜率k=

b

a-1

，表示可行域中動點M（a，b）與定點D（1，0）連線的斜率
由

2a+2b+1=0 2a+b+2=0

，可得

a=- 3 2 b=1

，此時與定點D（1，0）連線的斜率為

1-0

- 3 2 -1

=-

2

5

由

2a-2b-1=0 2a+b+2=0

，可得

a=- 1 2 b=-1

，此時與定點D（1，0）連線的斜率為

-1-0

- 1 2 -1

=

2

3

∴直線bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范圍是(-

2

5

，

2

3

)
故選A．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查線性規劃知識，確定平面區域，明確目標函數的幾何意義是關鍵．