題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿12分） 已知函數
（Ⅰ）將函數
化簡成
的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函數
上的最大值和最小值
（本小題滿13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）
設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知
，求：
（Ⅰ）A的大小；
（Ⅱ）
的值。
（本小題滿分為１４分）
已知拋物線
的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且
過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。
（I）證明
為定值；
（II）設
的面積為S，寫出
的表達式，并求S的最小值。
解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
16．（本小題滿分為12分）
已知函數
和
．
（Ⅰ）設
是
的極大值點，
是
的極小值點，求
的最小值；
(Ⅱ)若
，且
，求
的值．
（本小題滿12分.）已知函數
．
（Ⅰ）當
時，若
，求函數
的值；
（Ⅱ）當時，求函數
的值域；
（Ⅲ）把函數
的圖象按向量
平移得到函數
的圖象，若函數是偶函數，寫出
最小的向量
的坐標．
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C
7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 
14. 
15. 增函數的定義
16. 與該平面平行的兩個平面
三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
17．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）涉及兩個變量，年齡與脂肪含量．
因此選取年齡為自變量
，脂肪含量為因變量
．
作散點圖，從圖中可看出與具有相關關系．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）對的回歸直線方程為
．
當
時，
，
．
當
時，
，
．
所以
歲和
歲的殘差分別為
和
.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
證明：由于
，
，
所以只需證明
．
展開得
，即
．
所以只需證
．
因為顯然成立，
所以
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小題滿分12分)
證明：（Ⅰ）因為
，所以
．
由于函數
是
上的增函數，
所以
．
同理， 
．
兩式相加，得
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）逆命題：
若，則．
用反證法證明
假設
，那么
所以
．
這與矛盾．故只有，逆命題得證．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解：（Ⅰ）由于
，且
．
所以當
時，得
，故
．
從而
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）數列
不可能為等差數列，證明如下：
由，
得
，
，
．
若存在
，使為等差數列，則
，
即
，解得．
于是
，
．
這與為等差數列矛盾．所以，對任意，數列都不可能是等差數列．
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）
，
．
，
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，
，
．
猜想：
是公比為
的等比數列．
證明如下：因為
，
又
，所以
，
所以數列是首項為
，公比為的等比數列．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
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