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設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦， MNAB，求證：為定值．

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設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，且過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值。

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一、選擇題(每小題5分，共50分)

    1．C  2．B  3．D  4．A  5．C  6．B  7．A  8．C  9．B  10．D

二、填空題(每小題4分，共24分)

11．84  12．(3，) 13． 14．±2  15．1:2  16．4

三、解答題(本大題共6小題，共76分)

17．(本題12分)

解：(Ⅰ)∵，

∴          ………………………(2分)

∴    ………………………(3分)

∴              ……………………(4分)

∵在中，

∴                             ………………………(5分)

(Ⅱ)設分別是中的對邊，

∵?

∴

∴    ①                                          ……………………(6分)

由正弦定理：，得              ……………………(7分)

∴

∴    ②                                          ……………………(8分)

由①②解得                                    ……………………(9分)

由余弦定理，得                       ………………(10分)

                                                        ………………(11分)

∴，即邊的長為。                              ……………………(12分)

18．(本題12分)

解：(Ⅰ)記“甲投籃1次投進”為事件，“乙投籃1次投進”為事件， “丙投籃1次投進”為事件，“3人都沒有投進”為事件，

則，，

∴                ………………………(2分)

                            …………………………(4分)

∴3人都沒有投進的概率為                           …………………………(5分)

(Ⅱ)的可能取值為，故：

，                           …………………(6分)

，                           …………………(7分)

，                       ………………………(8分)

，                          …………………(9分)

∴的分布列為：

0

1

2

3

∴的數學期望：

，                 ……………(12分)

19．(本題12分)

解：以為坐標原點，射線分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系．                                      ………………………(1分)

設，由已知得：

，                   ……………(2分)

(Ⅰ)當時，，，  

∴, =, ，                  ……………(3分)

?=，?=，                                    ……………………(4分)

∴。                         …………………………………(5分)

又，

∴平面

∴平面平面。                       …………………………………(6分)

(Ⅱ)∵，

∴，

∴，，

設，平面，

∴?=,?=

                  設則…(8分)

設，平面，

?=,?=，

                       設則,                      ……(9分)

∴，

∵二面角小于，                        …………………………(11分)

∴二面角余弦值為，

∴二面角B-PD-C大小為。                          …………………………(12分)

20．(本題12分)

解：(Ⅰ) ∵

∴                           ………………………………(2分)

∵在區間上為減函數

∴≤O在區間上恒成立                       …………………………(3分)

∵是開口向上的拋物線

        ≤      ≤

∴只需              即                               …………………………(5分)

        ≤       ≤

∴≤≤                             ………………………………………(6分)

(Ⅱ)當時，                     

∴存在，使得

∴在區間內有且只有一個極小值點                      ……………(8分)

當時                      

∴存在，使得

∴在區間內有且只有一個極大值點                     ……………(10分)

當≤≤時，由(Ⅰ)可知在區間上為減函數

∴在區間內沒有極值點．

綜上可知，當時，在區間內的極值點個數為

當≤≤時，在區間內的極值點個數為          ………(12分)

21．(本題14分)

解：(Ⅰ)∵橢圓中，，                  ……………………………(1分)

∴,                         ……………………………(2分)

∴橢圓的標準方程為。                  ……………………………(3分)

∵在拋物線中，，                           ……………………………(4分)

∴拋物線的標準方程為：。                     ………………………(5分)

 (Ⅱ)設直線