Question

設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦， MNAB，求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為或（III）略

解析:

(1) 橢圓的頂點為，即，                 1分

，所以，                              2分

橢圓的標準方程為                                3分  

（2）由題可知,直線與橢圓必相交.

設存在直線為，且，.

由得，                     

，，                  5分

              =    7分  

所以，故直線的方程為或           9分

（3）設,

由（2）可得：  |MN|=

          =               11分

由消去y，并整理得： ，

|AB|=，                         13分

∴  為定值                           14分