Question

設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的焦點確定橢圓的頂點，結合離心率，即可求出橢圓的標準方程．
（2）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩張情況討論：①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意；②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合向量條件，即可求得直線l的方程；
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|與|AB|的長，從而可證結論．
解答：（1）解：拋物線的焦點為
∵橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合
∴橢圓的一個頂點為，即
∵，∴a=2，
∴橢圓的標準方程為（3分）
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，M（1，），N（1，-），∴，不合題意．
②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
，，

=
所以，
故直線l的方程為或（8分）
（3）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=
=．
由消去y，并整理得：，
|AB|=，
∴為定值  （13分）
點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的而運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．