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與向量、圓交匯．例5：已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF1|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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與向量、圓交匯．例5：已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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與向量、圓交匯．例5：已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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設向量與的平角為θ．規定×為與的“向量積”，且×滿足下列條件①×是一個向量；②×的模為|×|=||•||•sinθ．若，則|×|等于（ ）
A．
B．2
C．
D．4

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1．D   2．C   3．A   4．B   5．A  6．B   7．B   8．D   9．C   10．B

11.A     12．B

13．      14．        15．         16．

 17．(本小題滿分12分)

（Ⅰ）由正弦定理知sinA=，sinB，sinC=．

       ∴　2，

       ∴　．

∴，．

（Ⅱ）∵ =   

       ===

   ==．        

       ，∴，

       ∴當時，即時． 

18．（本小題滿分12分）

   解（1）記得分之和為隨機變量

　　則＝0，1，2　　其中

0

1

2

P

（2）

19、(本小題滿分12分)

（I）解：由得

       ，

   （II）由，

       ∴數列{}是以S₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列，

       當n=1時a₁=1滿足

   （III）①

       ，②

       ①－②得，

       則.

20、(本小題滿分12分)

解：

（Ⅰ）∵．　　　　　　　　　　　　　　    

∴當時，．　　　　　　　 

因為，對一切成立，                

所以，對一切成立，所以是R上的減函數，

因此，沒有極值．                                     

（Ⅱ）∵是R上的增函數，故在R上恒成立，

即在R上恒成立．　　　　　　　　　　　　　   

令，可得，

．　　

由，得或．

因此，函數在上單調遞減，在（－1，1）上單調遞增，
在（1，+）上單調遞減．　　　　　　　　　　　　　

∴當時，有極小值，當時，有極大值．

又，故知為函數的最小值．　　

∴，但是當時，也是R上的增函數．

因此a的取值范圍是．　　　

21、(本小題滿分12分)

解：(1)由橢圓定義及已知條件知2a=|F₁B|+|F₂B|=10，∴a=5.

又c=4，∴b²=a²-c²=9.

故橢圓方程為+=1.                                                 

(2)由點B在橢圓上，可知|F₂B|=|y_B|=，而橢圓的右準線方程為x=，離心率為，

由橢圓定義有|F₂A|=(-x₁)，|F₂C|=(-x₂).

依題意|F₂A|+|F₂C|=2|F₂B|.

則(-x₁)+(-x₂)=2×.

∴x₁+x₂=8.

設弦AC的中點為P(x₀，y₀)，則x₀==4,

即弦AC的中點的橫坐標為4.                                             

(3)由A(x₁,y₁)，C(x₂,y₂)在橢圓上得9x₁²+25y₁²=9×25，9x₂²+25y₂²=9×25.

兩式相減整理得9()+25()()=0(x₁≠x₂).

將=x₀=4，=y₀，=-(k≠0)代入得

9×4+25y₀(-)=0,即k=y₀.

由于P(4,y₀)在弦AC的垂直平分線上，

∴y₀=4k+m,于是m=y₀-4k=y₀-y₀=-y₀.

而-<y₀<，∴-<m<.          

22、(本小題滿分12分)

解：（I）①時，，
故結論成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　

②假設時結論成立，即．

∴，即．

也就是說時，結論也成立．

由①②可知，對一切均有．　　　　　

（Ⅱ）要證，即證，其中．

令，．

由，得．　　

+

0

―

極大值

又，．

∴當，，∴． 

∴，即．